LEZIONE 1 – Cinematica delle travi rigide

I VINCOLI

Nelle strutture, gli spostamenti rigidi vengono impediti mediante dei particolari dispositivi definiti VINCOLI.

Questi si possono distinguere in:

• VINCOLI ESTERNI che collegano i tratti della struttura col sistema di riferimento assoluto;
• VINCOLI INTERNI che collegano due o più tratti tra di loro;

I vincoli possono essere caratterizzati in relazione agli spostamenti che vengono impediti o permessi (punto di vista cinematico) oppure definendo i gradi di libertà e i gradi di vincolo (punto di vista statico).

Ogni tratto rigido di una struttura piana possiede 3 Gradi di libertà (g_l) che sono:

• Traslazione orizzontale;
• Traslazione verticale;
• Rotazione.

Ogni vincolo è caratterizzato dal suo Grado di vincolo (g_v), ovvero dal numero di gradi di libertà che vengono impediti.

g_v= 3 → VINCOLO TRIPLO → vengono impediti 3 gradi di libertà;

g_v= 2 → VINCOLO DOPPIO → vengono impediti 2 gradi di libertà;

g_v= 1 → VINCOLO SINGOLO → viene impedito un solo grado di libertà.

Considerando un sistema di riferimento con l’asse x (asse orizzontale) e con l’asse y (asse verticale), nelle tabelle seguenti vengono schematizzati i/le movimenti/rotazioni che i vincoli permettono/impediscono.

VINCOLI ESTERNI

VINCOLI INTERNI

CERNIERE MULTIPLE

Le cerniere, interne o esterne, se collegano più di due tratti vengono chiamate cerniere multiple.

Quando la cerniera è interna, detto N il numero di tratti, sarà : g_v = 2 (N – 1)

Quando la cerniera è esterna, detto N il numero di tratti, sarà : g_v = 2 N

CARATTERIZZAZIONE CINEMATICA DELLE STRUTTURE

Le strutture possono essere classificate in:

• STRUTTURE ISOSTATICHE: sono quelle strutture nelle quali i vincoli presenti impediscono tutti gli spostamenti rigidi; 

• STRUTTURE IPERSTATICHE: sono quelle strutture nelle quali i vincoli presenti sono di numero maggiore rispetto a quelli necessari ad impedire tutti gli spostamenti rigidi; 

• STRUTTURE LABILI: sono quelle strutture nelle quali il grado di vincolo totale (somma dei gradi di vincolo di tutti i vincoli interni ed esterni presenti nella struttura) non riesce ad impedire tutti gli spostamenti rigidi, permettendo alla struttura di muoversi.

GRADO DI VINCOLO EFFICACE E GRADO DI LABILITÁ

Un vincolo è efficace quando impedisce un movimento/rotazione.

g_l = 3          g_{v eff} = 1

g_l = 3          g_{v eff} = 2

g_l = 3          g_{v eff} = 2

Come si può notare nell’ultima struttura, il carrello inserito a destra è inefficace perché la trave orizzontale avrà comunque la possibilità di traslare in direzione orizzontale.

Il grado di labilità (l) è dato dalla differenza tra il grado di libertà e il grado di vincolo efficace, dando così la possibilità alla struttura di muoversi o di ruotare.

Condizione necessaria e sufficiente per l’isostaticità è che si verifichi (formulazione analitica): 

CENTRI DI ROTAZIONE ASSOLUTA

Un altro modo per stabilire se una struttura è isostatica, consiste nella determinazione della posizione dei centri di rotazione di ogni singolo vincolo presente nella struttura. Questi centri vengono definiti:

• CENTRI ASSOLUTI, nel caso di rotazioni dei tratti rispetto ad un riferimento esterno;
• CENTRI RELATIVI, nel caso di rotazioni relative tra i tratti.

Nella tabella seguente sono riassunte le posizioni dei centri di rotazioni dei principali vincoli.

Nel caso in cui un tratto sia condizionato da più vincoli esterni, è necessario soddisfare contemporaneamente tutte le condizioni da essi imposte per poter affermare che il centro di rotazione assoluto esiste.

TEOREMI DELLE CATENE CINEMATICHE

Nel caso di una struttura costituita da più tratti, è possibile valutare la presenza o meno di cinematismi attraverso i teoremi delle catene cinematiche, secondo i quali:

1° Teorema : Una struttura composta da due tratti è labile se C₁ – C₁₂ – C₂ sono allineati.

LABILE

ISOSTATICA

2° Teorema : Una struttura composta da più di due tratti è labile se, comunque si scelga una coppia di tratti i e j, si verificano le seguenti condizioni:

dove il pedice k si riferisce ad un terzo tratto.