Lezione 7 – Spostamenti e rotazioni in travi deformabili – Parte 2
Applicazione di due metodi per il calcolo di spostamenti e rotazioni in travi ad asse orizzontale caricate verticalmente
Nella lezione precedente si è visto come calcolare spostamenti e rotazioni di travi deformabili in strutture intelaiate utilizzando il principio dei lavori virtuali. In questa lezione verranno affrontati due metodi che possono essere applicati solo nel caso in cui la trave è ad asse orizzontale ed è caricata verticalmente. I due metodi sono:- METODO DELLA LINEA ELASTICA;
- METODO DEI CORROLLARI DI MOHR.
METODO DELLA LINEA ELASTICA
Nella figura seguente, considerando una trave ad asse orizzontale caricata verticalmente nella mezzeria, viene mostrata come avviene la deformazione della linea d’asse:
Equazione differenziale della linea elastica del secondo ordine
Sostituendo la legge del momento flettente in quest’ultima equazione ed effettuando delle integrazioni successive, è possibile calcolare gli spostamenti e le rotazioni di un determinato punto della trave. Dopo aver equilibrato la struttura e aver definito le leggi del momento flettente, il metodo della linea elastica consiste in pochi e semplici passi che vengono illustrati nell’esempio riportato di seguito.
Considerando la trave seguente:
1° step) Equilibrare e definire le leggi del momento flettente
2° step) Effettuare due integrazioni successive per ogni ascissa presente
3° step) Definire le condizioni al contorno
4° step) Calcolare le costanti di integrazione
Le costanti di integrazioni si ottengono imponendo le condizioni al contorno. Dato che : 
5° step) Calcolare lo spostamento in B
Di seguito vengono sostituite le costanti di integrazione travate nello step precedente e viene calcolato lo spostamento in B.
Dato che si ottiene un valore negativo, si può dedurre che lo spostamento del punto B avviene nella direzione opposta rispetto al sistema di riferimento scelto.METODO DEI COROLLARI DI MOHR
Anche questo metodo risulta ampiamente utilizzato per calcolare gli spostamenti e rotazioni di determinati punti di travi ad asse orizzontale caricate verticalmente. Il metodo dei corollari di Mohr si basa è basato sull’utilizzo della TRAVE REALE e della TRAVE AUSILIARIA. La trave reale è la struttura nella quale vengono valutate le caratteristiche cinematiche, mentre la trave ausiliaria, definita anche come “trave di Mohr”, è la struttura in cui si fa riferimento alle caratteristiche statiche. In altre parole la trave ausiliaria è necessaria per questo metodo per poter calcolare gli spostamenti e le rotazioni in ogni punto della trave reale (che è la trave di partenza). Nella tabella seguente vengono riportate le analogie esistenti tra la trave reale e la trave ausiliaria.
La curvatura elastica calcolata nella trave reale corrisponde al carico applicato verticalmente nella trave ausiliaria; gli spostamenti trasversali della trave reale corrispondono ai momenti flettenti nella trave ausiliaria, mentre le rotazioni corrispondono al taglio. È intuibile quindi che la trave ausiliaria dipende totalmente dalle caratteristiche della trave reale. Per esempio: se nella trave reale è presente un appoggio ad un’estremità, è noto che gli spostamenti sono nulli (quindi non sono permessi) e le rotazioni sono permesse, nella trave ausiliaria bisognerà inserire un vincolo che abbia momento flettente nullo e taglio diverso da zero (per le analogie espresse da Mohr nella tabella appena sopra). Di seguito vengono descritte le corrispondenze tra trave reale e trave ausiliaria per alcuni vincoli (esterni ed interni). 
Nel seguente video troverai la spiegazione dettagliata dello svolgimento del metodo dei corollari di Mohr per il calcolo di spostamenti e rotazioni. Buona visione!
