LEZIONE 4 – Caratteristiche e diagrammi della sollecitazione

Caratteristiche della sollecitazione

Nelle lezioni precedenti si è visto come equilibrare le forze agenti sulla struttura con le reazioni vincolari, ma non si è fatto riferimento alle azioni che vengono scambiate mutuamente in ogni sezione trasversale della trave. Si consideri ad esempio:

Supponendo di effettuare un taglio trasversale nella sezione “S” e separare le due parti ottenute, affinché queste siano in equilibrio, è necessario sostituire, in corrispondenza del taglio, le azioni che mutuamente vengono scambiate nella struttura integra. Esse consistono in una risultante orizzontale, una risultante verticale ed un momento risultante, definite caratteristiche della sollecitazione.

È importante sottolineare che, le azioni a sinistra e a destra di ogni singola sezione trasversale, devono essere tra di loro opposte.

I versi delle azioni riportati in quest’ultima figura fanno riferimento alle reazioni vincolari presenti nella struttura precedente.

In ogni sezione si può definire:

• SFORZO NORMALE “N” : risultante, con la stessa direzione della trave, di tutte le forze o a destra o a sinistra della sezione;
• TAGLIO “T” : risultante, con direzione ortogonale all’asse della trave, di tutte le forze o a destra o a sinistra della sezione;
• MOMENTO FLETTENTE “M”: momento risultante, rispetto alla sezione considerata, di tutte le forze o a destra o a sinistra della sezione stessa.

Convenzione di Mohr

Questa convezione viene utilizzata per stabilire i segni delle caratteristiche della sollecitazione ed è rappresentata nella figura seguente prendendo in considerazione un generico concio della trave (punto della trave).

Lo SFORZO NORMALE è positivo se è di trazione, quindi se tende ad allungare il concio; il TAGLIO è positivo se è diretto verso l’alto sulla faccia di sinistra e verso il basso sulla faccia di destra, quindi se fa ruotare il concio in senso orario; il MOMENTO FLETTENTE è positivo se tende le fibre inferiori.

È fondamentale notare che i segni dello sforzo normale e del taglio non dipendono dal sistema di riferimento che viene preso in considerazione, mentre non è cosi per il momento flettente. Per quest’ultimo, le coppie indicate nella figura, rappresentano un momento flettente positivo per l’osservatore rosso, comunemente chiamato “umano” per semplicità, dato che tendono le fibre inferiori; le stesse coppie rappresentano un momento flettente negativo per l’osservatore nero, comunemente chiamato “pipistrello”, dato che tendono le fibre superiori.

Equazioni indefinite di equilibrio del concio elementare

Le equazioni presenti nel seguente sistema danno importanti informazioni sulle distribuzioni delle caratteristiche della sollecitazione:

Diagrammi e leggi delle caratteristiche della sollecitazione

In ogni struttura isostatica, dopo aver calcolato le reazioni vincolari e controllato l’equilibrio dell’intera struttura, si devono determinare le caratteristiche della sollecitazione e i relativi diagrammi.

È importante sottolineare che i diagrammi dello sforzo normale e del taglio vengono disegnati su fondamentali parallele alla struttura, mentre il diagramma del momento flettente viene designato direttamente sulla struttura e dalla parte delle fibre tese.

Per determinare la parte delle fibre tese, considerando la trave compresa tra il punto di applicazione della forza e un incastro immaginario, bisogna intuire come infletterebbe.

Nella figura a sinistra, dato il verso di applicazione della forza, le fibre tese  sono quelle al di sotto della trave; mentre nella figura a destra, dato il verso di applicazione della forza, le fibre tese sono quelle al di sopra della trave stessa.

Caso dei carichi concentrati

Considerando una trave di lunghezza L (g_l = 2) in cui nell’estremo destro è applicata una forza concentrata e nell’estremo sinistro è presente un incastro (g_v = 2). Banalmente possiamo notare l’equilibrio della trave dato dalle reazioni vincolari dell’incastro (coppia e reazione verticale verso l’alto). Come possiamo vedere dalla figura seguente, in blu viene rappresentato il diagramma dello sforzo normale (in questo caso è nullo dato che la trave è caricata verticalmente); in rosso viene rappresentato il diagramma del taglio (in questo caso vale F lungo tutta la trave ed è positivo per la convenzione dei segni di Mohr); in verde viene rappresentato il diagramma del momento flettente (in questo caso è negativo per la convezione dei segni di Mohr perché le fibre tese sono quelle al di sopra della trave).

Di seguito vengono riportate le leggi delle caratteristiche della sollecitazione:Nella figura seguente vengono rappresentati i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione della struttura presa in considerazione ad inizio lezione. Dopo aver scelto arbitrariamente la posizione e il verso delle ascisse, si nota che per l’ascissa z₁ (osservatore “umano”) lo sforzo normale è nullo, mentre per l’ascissa z₂ (osservatore “pipistrello”) lo sforzo normale è positivo per la convezione dei segni. Per quanto riguarda il diagramma del taglio, otteniamo un salto che vale F √92 in corrispondenza del punto di applicazione della forza.

Essendo il taglio costante per entrambe le ascisse, il diagramma del momento flettente è lineare e il segno dipenderà sia dall’ascissa scelta sia dalla convenzione dei segni. Per l’ascissa z₁ la legge del momento flettente sarà positiva perché sono tese le fibre inferiori, mentre per l’ascissa z₂ sarà negativa perché sono tese le fibre superiori.

Di seguito vengono riportate le leggi delle caratteristiche della sollecitazione:

Caso dei carichi distribuiti

Nel caso dei carichi distribuiti, la legge del taglio non è più costante, ma è lineare. Per quanto riguarda la legge del momento flettente non è più lineare, ma diventa quadratica. Per rappresentare il diagramma del momento flettente, viene utilizzata una costruzione grafica.

Considerando una trave incastrata ad un’estremità soggetta ad un carico distribuito, vengono eseguiti i seguenti passi:

1° step) Tracciare una retta congiungente il punto B e il punto C;

2° step) Tracciare un’altra retta tra il punto C e il punto D;

3° step) Individuare il punto medio del segmento AB;

4° step) Tracciare tre tangenti: la prima passante per C, la seconda passante per D e la terza passante per il punto medio del segmento AB;

5° step) Tracciare la parabola per le tre tangenti.

Principio di sovrapposizione degli effetti

Se una struttura è caricata da più forze esterne, è conveniente applicare il principio di sovrapposizione degli effetti.

Per definizione: “Se in una struttura agiscono contemporaneamente più cause, gli effetti da esse provocate, possono essere calcolati sommando quelli prodotti da ogni singola causa considerata agente separatamente”.

Vedremo l’applicazione di questo principio attraverso un esempio in cui contemporaneamente vengono applicate una forza e una coppia concentrata.

1° step) Esaminare la struttura

La trave orizzontale presa in considerazione è costituita da due tratti (g_l = 4) e da quattro vincoli semplici (due cerniere, un carrello ad asse verticale e un bipendolo ad asse orizzontale).

2° step) Applicare solamente la forza concentrata

Considerando solo la forza concentrata nel tratto a destra della cerniera, si bilancia la struttura.

3° step) Applicare solamente la coppia concentrata

Considerando solo la coppia concentrata nel tratto a sinistra della cerniera, si bilancia la struttura.

4° step) Sommare le reazioni vincolari prodotte dalle singole forze applicate

5° step) Verificare l’equilibrio della struttura

Nel caso corrente, il tratto a destra della cerniera è in equilibrio perché le due forze formano una coppia oraria che è bilanciata dalla coppia antioraria del bipendolo. Anche il tratto di sinistra risulta banalmente in equilibrio.