LEZIONE 2 – Statica delle travi rigide
La statica si occupa dello studio delle forze che agiscono sui corpi. Queste forze sono considerate grandezze indipendenti dal tempo. Si distinguono in:
- Forze concentrate, agenti in un determinato punto della struttura e rappresentate attraverso un vettore con assegnata intensità, direzione e verso;
- Coppie concentrate, caratterizzate da un’intensità e da un vettore momento avente la direzione ortogonale al piano su cui agiscono con verso specificato dalla regola della mano destra. Queste hanno la dimensione di forza per lunghezza;
- Carichi distribuiti, agenti lungo le linee d’asse delle travi.
Nelle figure seguenti vengono indicate le risultanti dei carichi ed i loro punti di applicazione.
I vincoli, per impedire rotazioni o spostamenti, reagiscono alle sollecitazioni esterne per mezzo di forze che prendono il nome di REAZIONI VINCOLARI. Ovviamente un vincolo esplica un numero di reazioni vincolari medesimo al numero degli spostamenti impediti. Nella tabella seguente vengono rappresentate le diverse reazioni vincolari dei vincoli descritti nella Lezione 1. È importante sottolineare che il verso delle reazioni vincolari descritte nelle due tabelle è indicativo, dato che dipende dal bilanciamento della struttura in esame.
VINCOLI ESTERNI
VINCOLI INTERNI
CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI
È noto che un corpo è in equilibrio se il sistema di forze su di esso agenti ha RISULTANTE NULLA (Q=0) e MOMENTO RISULTANTE NULLO (M=0).
Per quanto riguarda il metodo analitico, un corpo è in equilibrio se si verificano le seguenti condizioni:
Questo sistema fa riferimento alle cosiddette equazioni cardinali della statica, in cui la sommatoria delle forze e reazioni orizzontali deve essere nulla, la sommatoria delle forze e delle reazioni verticali deve essere nulla e infine deve essere nulla anche la sommatoria dei momenti di ciascuna forza attiva e reattiva rispetto ad un polo P arbitrario. Queste equazioni devono verificarsi per tutti i tratti che costituiscono una qualsiasi struttura.
Il metodo grafico è ampiamente utilizzato nel calcolo delle reazioni vincolari, risultando essere nella maggior parte dei casi il metodo più immediato dato che consente di visualizzare l’equilibrio dei vari tratti di una struttura.
Nessun dubbio? Segui lo svolgimento di queste due modalità di esercizio per comprendere come individuare le reazioni vincolari per bilanciare una struttura isostatica.
ESERCIZIO STRUTTURA INTELAIATA
Considerando la seguente struttura:
1° step) Esaminare la struttura
È costituita da un unico tratto (gl = 3), da un vincolo semplice (pendolo ad asse orizzontale) e da un vincolo doppio (appoggio). La struttura è isostatica perché non è possibile rispettare entrambe le condizioni dei centri di rotazione dei vincoli presenti, dato che il centro di rotazione del pendolo può essere un punto proprio o improprio lungo il proprio asse e l’appoggio stesso è un centro di rotazione.
2° step) Individuare le rette d’azione di forze e reazioni vincolari
Una volta verificata l’isostaticità della struttura, si passa all’individuazione delle reazioni vincolari attraverso il metodo grafico. Nel caso in esame, è nota la direzione della forza agente F e quella della reazione del pendolo ad asse orizzontale. Dato che le due reazioni vincolari e la forza agente F devono costituire un sistema equilibrato, le loro rette d’azione dovranno passare per uno stesso punto. Tra le possibili rette d’azione dell’appoggio, l’unica che passa dal punto di intersezione (individuato dal punto P come in figura) tra la forza F e la retta d’azione del pendolo è quella verticale come indicato nella figura seguente.
3° step) Costruire il poligono delle forze e calcolare le reazioni vincolari
Individuate le rette d’azione, si traccia il poligono delle forze. Dalla teoria, le tre forze sono in equilibrio se il poligono da esse costituito è chiuso. Conoscendo il verso della forza, si è in grado di determinare il verso delle reazioni in modo tale che i versi stessi si inseguono. In questo caso, dato che le due componenti hanno la stessa lunghezza L sappiamo che il triangolo è isoscele; inoltre l’angolo che si forma tra le due reazioni vincolari è di 90°, di conseguenza gli altri due sono di 45°. Detto ciò, per calcolare il valore di RA e RB basterà moltiplicare il modulo della forza F per il seno o il coseno di 45°.
4° step) Tracciare le reazioni vincolari nella struttura
Calcolate le reazioni vincolari, è necessario riportarle nella struttura mantenendo il verso individuato nello step precedente.
5° step) Verificare l’equilibrio della struttura
Nel caso corrente, la componente verticale della forza agente F è bilanciata dalla reazione verticale dell’appoggio, mentre la componente orizzontale è bilanciata dalla reazione del pendolo ad asse orizzontale. Inoltre le forze verticali formano una coppia in senso orario di pari valore alla coppia formata dalle forze orizzontali in senso antiorario, garantendo così l’annullarsi del momento risultante. Quanto detto garantisce il bilanciamento della struttura.
ESERCIZIO TRAVE ORIZZONTALE
Considerando la seguente struttura ad asse orizzontale:
1° step) Esaminare la struttura
Nella trave ad asse orizzontale i gradi di libertà sono 2 per ogni tratto perché, essendo caricata verticalmente, si esclude lo spostamento orizzontale della struttura e di conseguenza di ogni vincolo non viene presa in considerazione la reazione orizzontale.
Nel caso in esame la struttura è costituita da due tratti (gl = 4) e sono presenti due vincoli semplici (carrello ad asse verticale e cerniera interna) e un vincolo doppio (incastro). Per lo studio dell’isostaticità della struttura, è possibile escludere il tratto a destra della cerniera in quanto l’incastro non presenta centro di rotazione assoluto.
Considerando solamente il tratto a sinistra, le condizioni dei centri di rotazioni di entrambi i vincoli presenti non possono essere soddisfatte, dato che il carrello ammette come centro di rotazione un punto proprio o improprio lungo il proprio asse e la cerniera stessa è un centro di rotazione, quindi la struttura è isostatica.
2° step) Calcolare le reazioni vincolari
Per ricavare le reazioni vincolari si consideri inizialmente la forza F agente nel tratto a sinistra della cerniera. Questa forza viene equilibrata sia dal carrello ad asse verticale sia dalla cerniera. Dato che la forza F viene applicata nella mezzeria del tratto, entrambi i vincoli appena citati reagiscono con una forza verticale verso l’alto pari a ½ F costituendo la cosiddetta “bilancia”, rendendo così il tratto in equilibrio.
Poiché la cerniera non è caricata da nessuna forza esterna, per avere l’equilibrio, deve reagire nel secondo tratto con una forza di pari modulo ma di verso opposto a quella del primo tratto (vedi tabella vincoli interni). La forza della cerniera viene equilibrata dall’incastro con una forza verticale verso l’alto pari a ½ F. Dato che le due forze nel tratto di destra formeranno una coppia antioraria pari a ½ FL, per ottenere l’equilibrio anche in questo tratto, l’incastro reagisce con una coppia oraria di pari valore.
Nella figura seguente viene mostrata l’intera struttura con le relative reazioni vincolari appena calcolate per mantenerla in equilibrio.
