Lezione 6 – Spostamenti e rotazioni in travi deformabili – Parte 1

Applicazione del principio dei lavori virtuali per il calcolo di spostamenti e rotazioni in sistemi di travi deformabili

Consideriamo un sistema A in cui le forze agenti e tensioni rappresentano un campo di forze staticamente ammissibili, un sistema B in cui spostamenti e deformazioni rappresentano un campo di spostamenti cinematicamente ammissibili. I due sistemi non sono legati da relazioni di causa-effetto. Il sistema A prende il nome di SISTEMA FORZE, mentre il sistema B viene definito SISTEMA SPOSTAMENTI.

Per calcolare spostamenti e rotazioni di strutture composte da travi deformabili viene utilizzato il principio dei lavori virtuali per corpi deformabili, il cui enunciato dice che: ” il lavoro compiuto dalle forze esterne agenti sul sistema A per effetto degli spostamenti del sistema B, detto lavoro esterno, è pari al lavoro interno compiuto dalle tensioni del sistema A per le deformazioni del sistema B “, quindi:

Il lavoro virtuale esterno è dato dalla somma dei contribuiti di tutte le forze/coppie attive e reattive del sistema forze per i/le rispettivi/e spostamenti/rotazioni del sistema spostamenti.

Il lavoro virtuale interno è dato da:

dove “EA” è la rigidezza assiale della trave e dipende dalla geometria della sezione trasversale e dalle proprietà del materiale, mentre “EI” è la rigidezza flessionale.

Il sistema spostamenti rappresenta la struttura nella quale si vogliono determinare le quantità cinematiche, mentre il sistema forze riguarda la struttura caricata da una forza unitaria applicata nel punto e nella direzione dello spostamento ricercato.

Di seguito viene riportato un esempio in cui viene calcolato lo spostamento in un determinato punto della struttura utilizzando proprio il principio dei lavori virtuali per travi deformabili.

Considerando la struttura seguente:

1° step) Esaminare la struttura

È una struttura costituita da due tratti (g_l = 6). Sono presenti due vincoli doppi (cerniere), un vincolo semplice (carrello ad asse orizzontale) e un cedimento vincolare elastico (molla angolare). La struttura è isostatica perché nel tratto di sinistra non esiste il centro di rotazione dato che è come se ci fosse un incastro, mentre nel tratto di destra non possono essere rispettate entrambe le condizioni dei centri di rotazione per i vincoli presenti. La struttura è soggetta ad un carico distribuito nel tratto a sinistra della cerniera che divide i due tratti e sono presenti due distorsioni termiche (una costante e una lineare). Questa struttura rappresenta il sistema spostamenti.

2° step) Equilibrare la struttura

Dopo averla analizzata, si passa all’equilibrio della struttura. Come è possibile notare il carico distribuito verticale è bilanciato dalla reazione verticale della cerniera in A. La risultante del carico distribuito e la reazione della cerniera formano un momento orario di valore pari a qL²/2 che è bilanciata dal momento della molla angolare di pari valore ma di verso opposto. Il tratto a destra della cerniera risulta scarico.

3° step) Diagrammi e leggi delle caratteristiche della sollecitazione nel sistema spostamenti

Infine bisogna illustrare i diagrammi e definire le leggi delle caratteristiche della sollecitazione del sistema spostamenti (vedi Lezione 4).

4° step) Analizzare il sistema forze

Nel sistema forze di qualunque tipo di esercizio non vengono presi in considerazione le forze agenti esterne sulla struttura e le distorsioni termiche. Come da definizione, nel sistema forze viene applicata una forza unitaria nel punto e nella direzione dello spostamento cercato.

5° step) Equilibrare il sistema forze

La forza unitaria applicata nella cerniera viene bilanciata dalla reazione verticale della cerniera in A. La forza unitaria e la reazione formano una coppia antioraria di valore L che verrà bilanciata dal momento della molla angolare di pari valore ma di verso opposto.

6° step) Diagrammi e leggi delle caratteristiche della sollecitazione nel sistema forze

Infine bisogna illustrare i diagrammi e definire le leggi delle caratteristiche della sollecitazione del sistema forze.

7° step) Definire lavoro virtuale esterno e lavoro virtuale interno

LAVORO VIRTUALE ESTERNO

LAVORO VIRTUALE INTERNO

8° step) Calcolare lo spostamento in B 

Il Teorema di Castigliano non si può utilizzare perché sono presenti delle distorsioni termiche.