Lezione 10 – Carico critico in strutture ad elasticità concentrata
Facendo riferimento a strutture soggette a sforzi normali, dall’insegnamento di Meccanica Razionale sappiamo che: l’equilibrio di un sistema può risultare stabile o instabile a causa di piccole perturbazioni dei carichi agenti o di imperfezioni geometriche della struttura stessa. Il sistema, una volta cessata l’applicazione del carico (sforzo normale), può ritornare oppure può allontanarsi dalla configurazione iniziale. Infine, l’equilibrio di un sistema risulta indifferente se il carico applicato modifica di poco la configurazione iniziale del sistema.
Per ricapitolare quanto appena detto, si prende in considerazione la seguente figura con i tre equilibri: STABILE, INSTABILE e INDIFFERENTE.
Si ha instabilità quando le forze esterne che agiscono sulla struttura (forze instabilizzanti) sono maggiori delle reazioni elastiche stabilizzanti delle molle (lineari e angolari). Il carico che provoca il bilanciamento tra le forze instabilizzanti e le reazioni stabilizzanti viene definito CARICO CRITICO.
Il valore del carico critico è il più piccolo carico assiale in corrispondenza del quale si ha la perdita dell’unicità del problema dell’equilibrio elastico.
In questa lezione affronteremo delle strutture costituite da aste che possono essere considerate rigide, collegate da elementi deformabili come molle lineari o angolari. Questa tipologia di strutture viene denominata ad elasticità concentrata. Viene effettuata un’analisi sui carichi assiali minori oppure maggiori del carico critico, definendo il comportamento pre e post critico.
È possibile calcolare il valore del carico critico per questa tipologia di strutture mediante due approcci differenti: metodo statico e metodo energetico. Affronteremo lo svolgimento di un esercizio utilizzando il metodo energetico.
Considerando la seguente struttura:
È una struttura costituita da due tratti e sono presenti una cerniera esterna, un pendolo, una molla lineare e una cerniera che permette di far ruotare i due tratti con versi opposti. Come si può osservare, la struttura possiede un solo grado di libertà dato che sussiste la seguente relazione:
che nell’ipotesi di piccoli spostamenti, è possibile scrivere:
Per poter calcolare il valore del carico critico, bisogna innanzitutto calcolare l’energia potenziale:
Si noti che lo spostamento orizzontale del pendolo risulta la somma dei due contributi relativi alle rotazioni di ciascun tratto.
Considerando gli sviluppi troncati in serie di Taylor delle funzioni trigonometriche si ottiene la forma dell’energia potenziale totale:
Annullando la derivata prima si ha:
quindi il valore del carico critico è :
