Lezione 8 – Risoluzione di strutture iperstatiche – Parte 1

by scienzadellecostruzioni · 7 Maggio 2024

I metodi di risoluzione delle strutture iperstatiche è diverso da quello utilizzato nelle strutture isostatiche. Per definire le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione nelle strutture iperstatiche bisogna usare dei metodi che tengono conto della natura elastica del materiale. Questi metodi, oltre a garantire l’equilibrio, devono tener conto anche della congruenza.

Per le strutture iperstatiche vengono utilizzati due metodi:

Metodo degli spostamenti, che consiste nella scelta della soluzione, tra le infinite soluzioni congruenti, che sia anche equilibrata.
Metodo delle forze, che consiste nella ricerca dell’unica soluzione congruente tra le infinite equilibrate.

Prima di poter descrivere questi metodi risolutivi delle strutture intelaiate iperstatiche, conviene introdurre un’equazione che permette di risolvere travi iperstatiche ad asse orizzontale caricate verticalmente.

Equazione differenziale del quarto ordine della linea elastica

Considerando l’equazione differenziale del secondo ordine vista nella Lezione 7:

derivando due volte e ricordando le equazioni indefinite del concio elementare si ottengono:

definendo così l’ultima equazione come equazione differenziale del quarto ordine della linea elastica, che descrive il comportamento di travi inflesse sia isostatiche che iperstatiche.

Per risolvere questa tipologia di esercizio, bisogna sempre considerare che in un estremo della trave in cui è presente un vincolo, o è nullo il momento flettente oppure è nulla la rotazione. Se un vincolo reagisce col taglio (reazione vincolare verticale) all’applicazione di un carico esterno, gli spostamenti trasversali in quel punto della trave saranno nulli (quindi non permessi) e viceversa.

Di seguito viene riportato un esempio in cui viene spiegato dettagliatamente la risoluzione di una trave iperstatica ad asse orizzontale caricata verticalmente utilizzando l’equazione differenziale del quarto ordine.

Considerando la seguente struttura:

1° step) Esaminare la struttura

È una struttura costituita da un unico tratto (g_l = 2) in cui sono presenti un appoggio, un bipendolo ad asse orizzontale e due cedimenti vincolari elastici (una molla lineare e una molla angolare). La trave risulta due volte iperstatica, dato che g_v = 4. Inoltre è presente una distorsione termica lineare.

2° step) Definire le equazioni differenziali del quarto ordine per tutte le ascisse

3° step) Definire le condizioni al contorno

Partendo da sinistra, nel punto A è presente una molla angolare. Questo tipo di molla permette gli spostamenti verticali, quindi il taglio è nullo (prima condizione). La molla angolare reagisce con il momento, quindi la rotazione dell’asta dipenderà dalla rigidezza angolare (seconda condizione). La reazione della molla angolare ha verso orario perché si deve opporre ad una rotazione positiva che è antioraria. La reazione della molla e il momento flettente nella faccia a destra del concio elementare (seguendo al convenzione di Mohr) hanno verso opposto.

Passando al punto B della trave, in corrispondenza dell’appoggio abbiamo quattro condizioni. La terza e la quarta condizione sono riferite agli spostamenti impediti dall’appoggio per entrambe le ascisse. L’appoggio permette alla trave di ruotare, infatti la quinta condizione è riferita al fatto che la rotazione è permessa purché a sinistra e a destra del vincolo si hanno rotazioni con lo stesso verso, non avendo rotazioni relative. Di conseguenza a destra e a sinistra dell’appoggio, il momento flettente resta invariato.

Infine nel punto C della trave sono presenti una molla lineare e un bipendolo ad asse orizzontale. La settima condizione è riferita al bipendolo che reagisce con il momento flettente, quindi le rotazioni sono nulle. La molla lineare reagisce col taglio e lo spostamento verticale della trave in quel punto dipende dalla rigidezza lineare della molla stessa. La reazione della molla lineare è verso l’alto perché si oppone allo spostamento positivo che è verso il basso. La reazione della molla e il taglio nella faccia a sinistra del concio elementare (seguendo anche in questo caso la convenzione di Mohr) hanno lo stesso verso e quindi si sommano, in modo tale che la condizione si annulli.

Ricapitolando tutte le condizioni al contorno riferite a questa trave:

4° step) Definire le equazioni del taglio e del momento flettente

Nelle condizioni al contorno non viene menzionato il termine relativo alla distorsione termica lineare. Per poterlo considerare, dalla teoria sappiamo che:

Per questa trave è utile definire la legge del momento flettente per l’ascissa z₂ dato che è presente la distorsione termica lineare in quella parte della trave.