Lezione 9 – Risoluzione di strutture iperstatiche – Parte 2

by scienzadellecostruzioni · 13 Maggio 2024

Come anticipato nella Lezione 8, per definire le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione nelle strutture iperstatiche bisogna usare dei metodi che tengono conto della natura elastica del materiale. Questi metodi, oltre a garantire l’equilibrio, devono tener conto anche della congruenza.

Per le strutture iperstatiche vengono utilizzati due metodi:

Metodo degli spostamenti, che consiste nella scelta della soluzione, tra le infinite soluzioni congruenti, che sia anche equilibrata.
Metodo delle forze, che consiste nella ricerca dell’unica soluzione congruente tra le infinite equilibrate.

In questa lezione affronteremo l’applicazione del metodo delle forze nelle strutture intelaiate iperstatiche. Facendo riferimento alla struttura iperstatica seguente:

Scelta delle incognite col metodo delle forze

Il metodo delle forze considera come incognite le reazioni iperstatiche. La struttura considerata è una volta iperstatica, quindi è possibile scegliere un’incognita sola. Il metodo delle forze richiede di trovare un sistema isostatico equivalente, ottenuto eliminando un grado di vincolo. Non basta eliminare un qualsiasi grado di vincolo, ma bisogna sempre controllare se la struttura è isostatica o è labile.

Tra le strutture isostatiche ottenute se ne sceglie una, che verrà definita “struttura isostatica equivalente“, e su di essa verrà applicato il metodo delle forze per trovare la reazione iperstatica incognita.

Applicazione del principio dei lavori virtuali come condizioni di congruenza

Il sistema spostamenti (struttura iperstatica di partenza) può essere decomposto in due schemi isostatici:

SISTEMA ZERO o dei carichi esterni, che riguarda la struttura isostatica equivalente scelta tra quelle possibili caricata solamente dalle forze esterne;
SISTEMA FORZE, che riguarda la stessa struttura caricata dall’incognita iperstatica assunta unitaria.

come indicato nella figura seguente:

Questa decomposizione permette di calcolare qualunque caratteristica del sistema spostamenti, attraverso la somma della caratteristica letta nel sistema zero e di quella nel sistema forze moltiplicata per l’incognita iperstatica. Di seguito vengono riportate le equazioni per calcolare il momento flettente, il taglio e gli spostamenti.

Anche nella risoluzione delle strutture iperstatiche, come nel caso di strutture isostatiche (Lezione 6), bisogna calcolare rispettivamente il lavoro virtuale esterno ed interno e successivamente bisogna porli uguali per poter calcolare la reazione iperstatica incognita.

Nel caso di strutture più volte iperstatiche, può essere comunque utilizzato il metodo delle forze appena descritto; è necessario però studiare un numero di sistemi forze pari al numero delle incognite iperstatiche.

Bisogna attenzionare che in qualsiasi struttura iperstatica è possibile applicare sia il metodo delle forze sia il metodo degli spostamenti.

In generale, è conveniente utilizzare il metodo delle forze quando si ha una struttura con un basso grado di iperstaticità, mentre conviene utilizzare il metodo degli spostamenti quando la struttura ha un alto grado di iperstaticità (molte volte iperstatica).

Per agevolare la comprensione dell’argomento trattato, applichiamo questa metodologia ad un esempio.

Considerando la struttura iperstatica seguente:

1° step) Esaminare la struttura

È una struttura composta da due tratti (g_l = 6). Per quanto riguarda i vincoli, ci sono: 2 vincoli interni (una cerniera e un pendolo ad asse orizzontale) e 4 vincoli semplici (due molle lineari, una molla angolare e un carrello ad asse orizzontale). Sommando i gradi di vincolo di tutti i vincoli presenti possiamo notare che la struttura in questione risulta una volta iperstatica dato che g_v = 7.

2° step) Eliminare un grado di vincolo e scegliere la struttura isostatica equivalente

Esaminiamo le 3 seguenti strutture trovate eliminando un grado di vincolo.

ISOSTATICA

LABILE

Dopo aver trovato tre possibili strutture da poter utilizzare per applicare il metodo delle forze, possiamo notare che solamente le strutture A e B sono isostatiche, mentre la struttura C risulta labile. È possibile scegliere, in modo arbitrario, una delle due strutture isostatiche trovate, diventando la struttura isostatica equivalente da poter utilizzare.

In quest’esercizio è stata scelta la struttura B.

3° step) Equilibrare il sistema zero e definire le leggi del momento flettente

Utilizzando le tecniche già presentate nelle lezioni precedenti, si bilancia il sistema zero e si rappresentano i vari diagrammi del momento flettente. Partendo dal tratto in cui è applicato il carico distribuito, otteniamo l’equilibrio considerando le seguenti reazioni vincolari (in rosso) che esplicano i vincoli presenti nella struttura di partenza.

È possibile notare come le reazioni verticali formano una coppia oraria (prima equazione) perfettamente bilanciata dalle due reazioni orizzontali che formano una coppia antioraria (seconda equazione).

Considerando l’altro tratto, l’unica reazione del pendolo ad asse orizzontale è bilanciata dalla reazione orizzontale della cerniera (nodo A) ed è possibile affermare che nel tratto a destra la cerniera non esplica nessuna reazione verticale. Queste due reazioni orizzontali formano una coppia oraria che sarà bilanciata dal momento della molla angolare, facendo così risultare anche l’altro tratto in equilibrio.

Adesso si considera il nodo A, esplicando le reazioni vincolari che intervengono per l’equilibrio del nodo stesso. Bisogna ricordare che le reazioni vincolari della cerniera (essendo vincolo interno) si riportano nel nodo con il verso opposto. È possibile notare che le reazioni orizzontali si equilibrano tra loro, quindi il carrello presente nella struttura non esplica nessuna reazione.

La reazione verticale qL proveniente dal tratto alla sinistra della cerniera verrà bilanciata dalla reazione verticale esplicata dalla molla lineare. In questo modo il nodo A risulta equilibrato. Bisogna ricordare che la reazione verticale della molla (essendo vincolo esterno) verrà riportata con lo stesso verso nella struttura, mentre quelle della cerniera (essendo vincolo interno) vengono riportate nella struttura con verso opposto.

Dopo aver riportato le reazioni vincolari trovate, si rappresentano i diagrammi dei momenti flettenti e si posizionano le ascisse z in modo da agevolare quanto più possibile la definizione delle leggi.

Di seguito vengono riportate le leggi del momento flettente ricavate dal sistema zero per tutte le ascisse arbitrariamente inserite.

4° step) Equilibrare il sistema forze e definire le leggi del momento flettente

Senza considerare il carico distribuito applicato alla struttura, viene applicata una forza unitaria nel punto in cui è stato rimosso il grado di vincolo.

Anche in questo caso, attraverso le tecniche già presentate precedentemente, si bilancia il sistema forze e si rappresentano i diagrammi del momento flettente. Nel caso del sistema forze, conviene partire dal tratto di destra dato che è il tratto in cui viene applicata la forza unitaria. La forza unitaria obliqua viene decomposta nelle sue componenti e queste vengono bilanciate dalle reazioni esplicate dalla cerniera. Poichè le forze verticali creano una coppia oraria che viene bilanciata perfettamente dalla coppia antioraria formata dalle forze orizzontali, la molla non esplica nessuna reazione. Il tratto così risulta in equilibrio.

Dato che conosciamo le reazioni della cerniera interna provenienti dal tratto di destra, possiamo equilibrare il nodo A. Ricordando che queste reazioni vengono riportate con il verso opposto nel nodo, la reazione orizzontale della cerniera interna verrà equilibrata dalla reazione orizzontale del carrello, mentre la reazione verticale verrà bilanciata dalla reazione verticale della molla. Il nodo A così risulterà in equilibrio.

Si può banalmente notare che il tratto di sinistra risulterà scarico.

Dopo aver riportato le reazioni vincolari trovate nel sistema forze, bisogna rappresentare i diagrammi del momento flettente ed inserire le ascisse in modo da agevolare la definizione delle rispettive leggi.